Sistema de ecuaciones lineales y aplicaciones

Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. 

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, en programacion lineal y en la aproximacion de problemas no lineales de anàlisis nùmerico.

Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcrcr}3\,x_{1}&+&2\,x_{2}&+&\,x_{3}&=&1\\2\,x_{1}&+&2\,x_{2}&+&4\,x_{3}&=&-2\\-\,x_{1}&+&{\frac {1}{2}}\,x_{2}&-&\,x_{3}&=&0\end{array}}\right.}$

El problema consiste en encontrar valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

Introduccion:

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incognitas puede ser escrito en forma normal como:

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}}$

Donde ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ son las incógnitas y los números ${\displaystyle a_{ij}\in \mathbb {K} }$ son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} \ [=\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\dots ]}$. Es posible reescribir el sistema separando los coeficientes con notación matricial:

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }$

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes. La matriz A se llama matriz de coeficientes de este sistema lineal. A b se le llama vector de términos independientes del sistema y a x se le llama vector de incógnitas.

https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales