Mètodos para resolver ecuaciones lineales

¿CÓMO SE HALLA LA SOLUCIÓN O SOLUCIONES DE UN SISTEMA?

Para ecuaciones lineales con dos incógnitas existen tres métodos a seguir:

1) Reducción.

2) Igualación.

3) Sustitución.
4) Mètodo de Gauss
5) Mètodo de la matriz inversa
6) Regla de cramer

Vamos a verlos por separado con ejemplos

1. Método de Reducción.- Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo molotov.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3·x + 2·y = 4
5·x - 3·y = 5
Solucion:

Nuestro objetivo es cancelar una de las variables. ¿Cómo lo hacemos?. Bien, lo estrategia es la siguiente, fijamos una variable a cancelar, por ejemplo "x", tenemos que tratar de hallar un sistema de ecuaciones equivalente al dado de manera que al sumar ambas ecuaciones miembro a miembro, se cancelen los términos de variable "x".

Aparentemente es un lío, pero vamos a verlo paso a paso.

3·x + 2·y = 4
5·x - 3·y = 5

Si multiplico la primera ecuación miembro a miembro (ambos lados de la igualdad) por -5 y la segunda por 3, tenemos que-15·x - 10·y = -20
15·x - 9·y = 15

Fíjate como los términos en "x" quedan opuestos, en la primera -15·x y en la segunda 15·x

Si ahora sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, tendremos que:-15·x - 10·y = -20
15·x - 9·y = 15
---------------------
   0·x - 19·y = -5

Por lo que, despejando "y", tendremos que y = 5/19

En resumidas cuentas, el "truco" para poder cancelar un término es, siempre, fijarnos en qué coeficiente tiene la variable a cancelar en la primera ecuación, multiplicar la segunda ecuación por dicho coeficiente, y realizar el mismo proceso pero tomando el coeficiente en la segunda ecuación y multiplicando la primera ecuación. Y, si es necesario, uno de ellos cambiado de signo (como en el caso que hemos observado, con el -5).

Una vez obtenido el valor de "y", sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema inicial y obtenemos el valor de "x".

2. Método de Igualación.-El método de igualación consiste en lo siguiente:

Tenemos dos ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{l} a = b \\ a = c \item \end{array} \right.$

donde $a$ , $b$ , y $c$ representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que:

$b = c$

Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en $a$ ni en $b$ , entonces la ecuación:

$b = c$

no contendría dicha incognita.

Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incognita, digamos $x$ .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye $x$ por su solución en otras ecuaciones dode aparezca $x$ para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo:

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x + y = 1
x - y = 3
Solucion:
En este método de resolución, nuestro objetivo es despejar, en ambas ecuaciones, la misma variable. Así que en principio, fijemos la variable a despejar. ¿Por ejemplo "x"?. Ok, si despejamos de ambas ecuaciones la variable "x", tendremos que

x=1-y
x=3+y

De este modo, si "x" es igual a esas dos expresiones, ambas expresiones deberán ser iguales entre sí. Esto es,

1-y=3+y

con lo que, si despejamos la variable "y", tendremos que

1-3=y+y

por tanto

-2=2·y

y de aquí que

y=-1.

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema inicial, por ejemplo, en la primera, tenemos que x=2.

3. Método de Sustitución.-Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma:

Entonces podemos despejar $a$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:

$\left( \, f - e \, \right) \cdot b + c = d$

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incognitas que las de partida.

Aqui $a, \, b, \, c, \, d, \, e$ y $f$ son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.

Ejemplo:

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 1
x - y = 3
Solucion:
En este método de resolución, nuestro objetivo es despejar una variable de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra. Así que, para empezar, vamos a fijar qué variable queremos despejar.

En principio, y como consejo, debemos despejar aquella que tenga como coeficiente 1, ya que de lo contrario tendríamos una fracción al despejarla y los cálculos serían más tediosos.

Así que vamos a comenzar por despejar, de la primera ecuación, la variable "y". Así, por tanto, tendremos que

y=1-x

y, sustituyendo en la segunda ecuación, tenemos que

x-(1-x)=3, haciendo cálculos,

x-1+x=3, agrupando términos en el lado izquierdo de la igualdad tenemos que,

-1+2·x=3, agrupando términos a un lado y a otro de la igualdad

2·x=3+1, luego

2·x=4, y de aquí que

x=2.

Una vez obtenido el valor de una de las variables, lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y obtenemosel valor de la otra variable.

Así, si x=2 y sustituyendo en la primera ecuación, tenemos que2 + y = 1, despejando

y=1-2=-1

Por tanto la solución al sistema es x=2 e y=-1, o lo que es lo mismo (2,-1).

4. Método de Gaus

Gauss es uno de los matematicos mas importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver.

Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incognitas porque al ir los coeficientes de una misma incognita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incognita a la que multiplican.

Ejemplo:

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{ccc} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1 \\ x \, - \, y \, - \, z & = & -1 \end{array} </pre> \right.$

es:

$\left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} ~~1 & ~~1 & ~~1 \\ ~~1 & ~~1 & -1 \\ ~~1 & -1 & -1 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} ~~3 \\ ~~1 \\ -1 \end{array} </pre> \right)$

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

$\left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} ~~1 & ~~1 & ~~1 \\ ~~0 & ~~0 & -2 \\ ~~0 & -2 & -2 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} ~~3 \\ -2 \\ -4 \end{array} </pre> \right)$

Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera.

Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:

$\left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} ~~1 & ~~1 & ~~1 \\ ~~0 & -2 & -2 \\ ~~0 & ~~0 & -2 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} ~~3 \\ -4 \\ -2 \end{array} </pre> \right)$

que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ -2y \, - \, 2z & = & -4 \\ -2z & = & -2 \end{array} </pre> \right.$

que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ocuacion para obtener $z$ :

$z \, = \, 1$

En la primera y segunda ecuación, sustituimos $z$ por la solucion de la tercera ecuación ( $1 \to z$ ), para obtener:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x \, + \, y \, + \, 1 & = & ~~3 \\ -2y \, - \, 2 & = & -4 \end{array} </pre> \right.$

La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita, $y$ , que resolvemos para obtener $y \, = \, 1$ . Sustituimos, en la primera ecuación, $y$ por 1 ( $1 \to y$ ). Esto nos da una ecuación en $x$ :

$x \, + \, 1 \, + \, 1 \, = \, 3$

que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

$x \, = \, y \, = \, z \, = \, 1$

5. Método de la matriz inversa

Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} \, = \, \mathbf{B}$

Si $\mathbf{A}^{-1}$ existe, es decir, si $\mathbf{A}$ es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda por $\mathbf{A}^{-1}$ , para obtener:

$\mathbf{X} \, = \, \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{B}$

que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes $\mathbf{A}$ y matriz de terminos independientes $\mathbf{B}$ .

6. Regla de cramer

Gabriel Cramer nacio Ginebra ( Suiza ) 1704 y murio en 1752. A él le debemos la regla que lleva su nombre. ¡Gracias Gabriel por tu contribución a las Matemáticas!

Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz $\mathbf{A}$ de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que $\mathbf{A}$ sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones coincide.

Cuando el sistema de ecuaciones

$\left. <pre> \begin{array}{c} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\ \dotfill \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{array} </pre> \right\}$

satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:

$x_1 \, = \, \frac { <pre> \left| \begin{array}[c]{cccc} b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_m & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right| </pre> } {|\mathbf{A}|} , \qquad \qquad x_2 \, = \, \frac { <pre> \left| \begin{array}[c]{cccc} a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & b_m & \ldots & a_{mn} \end{array} \right| </pre> } {|\mathbf{A}|}, \qquad \qquad \ldots \ldots$

$\ldots \ldots, \qquad \qquad x_n \, = \, \frac { <pre> \left| \begin{array}[c]{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & b_m \end{array} \right| </pre> } {|\mathbf{A}|} \qquad \qquad$

En general

$x_i \, = \, \frac{|\mathbf{A}_i|}{|\mathbf{A}|}$

donde $\mathbf{A}_i$ es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de $\mathbf{A}$ por la matriz de los terminos independientes, $B$ .

Ejemplo:

Consideremos el sistema de ecuaciones:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x \, + \, y \, = \, 2 \\ x \, - \, y \, = \, 0 \end{array} </pre> \right.$

En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz $\mathbf{A}$ de los coeficientes es una matriz cuadrada y $|\mathbf{A}| \, = \, \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & ~~1 \\ 1 & -1 \end{array} </pre> \right| <pre>\, = \, -2 \neq 0 </pre> $ . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:

$x \, = \, \frac { <pre> \left| \begin{array}[c]{cc} 2 & ~~1 \\ 0 & -1 \end{array} \right| </pre> } {|\mathbf{A}|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1 \qquad \qquad y \, = \, \frac { <pre> \left| \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array} \right| </pre> } {|\mathbf{A}|}\, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1$

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_lineales_dos_incognitas_dchg/p5_sde_3.html

http://www.wikillerato.org/Métodos_de_resolución_de_sistemas_de_ecuaciones_lineales.html

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