Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

El doble de la suma de dos números es 32 y su diferencia es 0. ¿Qué números son?

x= primer número

y= segundo número

El doble de la suma de los números es 32:

2(x + y) = 32

La diferencia de los números es 0:

x - y = 0

Tenemos el sistema

Aplicamos reducción

Ejercicio 2

Ana tiene el triple de edad que su hijo Jaime. Dentro de 15 años, la edad de Ana será el doble que la de su hijo. ¿Cuántos años más que Jaime tiene su madre?

a = edad de Ana

j = edad de Jaime

La edad de Ana es el triple que la de Jaime:

a = 3j

Dentro de 15 años, la edad de Ana será el doble que la de Jaime:

( a + 15 ) = 2( j + 15 )

Tenemos el sistema

Resolvemos por substitución

Rpta: Ana tiene 45 años y su hijo Jaime 15, por tanto, Ana tiene 30 años más que su hijo.

Ejercicio 3

Resuelva el siguiente sistema mediante la regla de Cramer.

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} 4x-y=-9 \\ 3x+5y=-1 \\ \end{matrix} \right.$

Solución:

Haciendo uso de la fórmula que dijimos anteriormente, tenemos entonces que la determinante general es:

$\displaystyle D=\left| \begin{matrix} 4 & -1 \\ 3 & 5 \\ \end{matrix} \right|=(4)(5)-(-1)(3)=20+3=23\ne 0$

Como el determinante es diferente de cero, entonces decimos que la solución es concurrente.

Ahora calculamos las soluciones.

$\displaystyle x=\frac{\left| \begin{matrix} -9 & -1 \\ -1 & 5 \\ \end{matrix} \right|}{23}=\frac{(-9)(5)-(-1)(-1)}{23}=\frac{-45-1}{23}=\frac{-46}{23}=-2$

Por lo que la solución en x = -2

Calculemos a “y”

$\displaystyle y=\frac{\left| \begin{matrix} 4 & -9 \\ 3 & -1 \\ \end{matrix} \right|}{23}=\frac{(4)(-1)-(-9)(3)}{23}=\frac{-4+27}{23}=\frac{23}{23}=1$

Por lo que la solución en y = 1

Ejercicio 4

Resolver por la regla de Cramer:

Ejercicio 5

Resolver por la regla de Cramer:

2 · 0 - 1 + 2 - 2t = -5 t = 3

Ejercicio 6

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones de 3×3 mediante la regla de Cramer

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3x+2y-z=12 \\ x-y+4z=19 \\ 5x-3y+z=8 \\ \end{array} \right.$

Solución:

Para encontrar el determinante general, lo hacemos de la siguiente manera, es importante tener conocimiento de las determinantes.

$\displaystyle D=\left| \begin{matrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 4 \\ 5 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right|=3\left| \begin{matrix} -1 & 4 \\ -3 & 1 \\ \end{matrix} \right|-2\left| \begin{matrix} 1 & 4 \\ 5 & 1 \\ \end{matrix} \right|-1\left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{matrix} \right|$

Por lo que:

$\displaystyle 3\left[ (-1)(1)-(4)(-3) \right]-2\left[ (1)(1)-(4)(5) \right]-1\left[ (1)(-3)-(-1)(5) \right]$

Así que

$\displaystyle 3(-1+12)-2(1-20)-1(-3+5)=3(11)-2(-19)-1(2)=69$

Nuestro determinante equivale a 69.

La solución para “x”.

$\displaystyle x=\frac{\left| \begin{matrix} 12 & 2 & -1 \\ 19 & -1 & 4 \\ 8 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right|=12\left| \begin{matrix} -1 & 4 \\ -3 & 1 \\ \end{matrix} \right|-2\left| \begin{matrix} 19 & 4 \\ 8 & 1 \\ \end{matrix} \right|-1\left| \begin{matrix} 19 & -1 \\ 8 & -3 \\ \end{matrix} \right|}{D}$

Luego tenemos que:

$\displaystyle x=\frac{12\left[ (-1)(1)-(4)(-3) \right]-2\left[ (19)(1)-(4)(8) \right]-1\left[ (19)(-3)-(-1)(8) \right]}{D}$

Así que:

$\displaystyle x=\frac{12(-1+12)-2(19-32)-1(-57+8)}{D}$

Luego:

$\displaystyle x=\frac{12(11)-2(-13)-1(-49)}{69}$

Finalmente:

$\displaystyle x=\frac{207}{69}=3$

x = 3

Ahora veamos:

La solución para “y”.

$\displaystyle y=\frac{\left| \begin{matrix} 3 & 12 & -1 \\ 1 & 19 & 4 \\ 5 & 8 & 1 \\ \end{matrix} \right|=3\left| \begin{matrix} 19 & 4 \\ 8 & 1 \\ \end{matrix} \right|-12\left| \begin{matrix} 1 & 4 \\ 5 & 1 \\ \end{matrix} \right|-1\left| \begin{matrix} 1 & 19 \\ 5 & 8 \\ \end{matrix} \right|}{D}$

Con esto obtenemos el proceso para encontrar a “y”:

$\displaystyle y=\frac{3\left[ (19)(1)-(4)(8) \right]-12\left[ (1)(1)-(4)(5) \right]-1\left[ (1)(8)-(19)(5) \right]}{D}$

Así que:

$\displaystyle y=\frac{3(19-32)-12(1-20)-1(8-95)}{D}$

$\displaystyle y=\frac{3(-13)-12(-19)-1(-87)}{69}$

Finalmente obtenemos que:

$\displaystyle y=\frac{276}{69}=4$

y = 4

Ahora veamos la solución que tenemos para “z”

La solución para “z”

$\displaystyle z=\frac{\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 12 \\ 1 & -1 & 19 \\ 5 & -3 & 8 \\ \end{matrix} \right|=3\left| \begin{matrix} -1 & 19 \\ -3 & 8 \\ \end{matrix} \right|-2\left| \begin{matrix} 1 & 19 \\ 5 & 8 \\ \end{matrix} \right|+12\left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{matrix} \right|}{D}$